[转] CAP定理的证明

CAP定理指在设计分布式系统时,一致性(Consistent)、可用性(Availability)、Partition Tolerance(分区容忍性)三个属性不可能同时满足,该定理也叫做布鲁尔定理。CAP定理明确了分布式系统所能实现系统的局限性,目前互联网中的很多分布式系统是基于首要满足可用性和分区容忍性而设计的。在这里,不打算提及目前火热的Cassandra、Voldemort等分布式存储系统,而是打算介绍一下CAP定理。
形式化描述

一致性:
所有在分布式系统上的操作有一个总体上的顺序,每一个操作看起来就像是在一个单独的瞬间完成的。这就要求分布式系统的运行就像是在一个单节点上一样,在一个时间响应一个操作。
可用性
:对于一个可用性的分布式系统,每一个非故障的节点必须对每一个请求作出响应。也就是,该系统使用的任何算法必须最终终止。当同时要求分区容忍性时,这是一个很强的定义:即使是严重的网络错误,每个请求必须终止。

分区容忍性
:为了定义分区容忍性,假定网络满足如下条件:网络是可能丢失从一个节点发往另一个节点的任意消息,当网络被分区(隔断)时,所有从一个分区的节点发往另一个分区的消息将会丢失。一致性要求每个响应必须是一致的,即使系统内部的消息没有被正确地发送。可用性要求从客户端接收请求的任一节点必须被响应,即使任意的消息可能没有被正确地发送。

异步网络
在异步网络模型中,没有统一时钟,所有节点仅根据接收到的消息和本地的计算进行决策。

定理一:在一个异步网络模型中,没有可能实现一个满足以下属性的读写数据对象:
1、可用性
2、一致性
对于所有对等运算(包括消息会丢失的)
证明:
假设存在一个算法A满足这些条件:一致性、可用性、分区容忍性。我们构造一次A的执行,包括一个返回非一致结果的请求。假设网络包含至少两个节点,那么它可以被分为不相关的非空集合:{G,H}。假设所有G和H之间的通讯消息都丢失,这是可能的。如果这时在G上有一个写操作,接着H上有一个读操作,那么读操作将无法返回早些的写操作。

推论一:在一个异步网络模型中,没有可能实现一个满足以下属性的读写数据对象:
1、可用性,所有对等运算
2、一致性,所有对等运算,但消息不会丢失
证明:
主要问题是在异步网络模型中一个算法没有办法去判断一个消息是否丢失或者在传输通道中被延迟。因此,如果在运算中不会丢失任何消息的前提下存在一个能够保证一致性的算法,那么该算法也能够在所有运算(消息可能丢失)情况下保证一致性。这将与定理一矛盾。

部分同步网络
假设一个部分同步的网络模型,在这里,所有的节点都有一个时钟,并且所有的时钟以一个相同的速度增长。然而,这些时钟并不是同步的,在相同的时间,它们显示不同的时间值。事实上,时钟扮演计时器的角色:处理器可以根据本地状态变量去衡量流逝了多少时间。一个本地的计时器可以用来调度某事件之后的多长时间间隔进行另一个操作。进一步地,假设每一个消息要么在给定的时间s内到达,要么丢失。并且,所有的节点在给定时间t内处理完一个接收到的消息。

 

定理二:在一个部分同步网络模型中,没有可能实现一个满足以下属性的读写数据对象:

1、可用性
2、一致性

对于所有对等运算(包括消息会丢失的)

证明:
证明方法与定理一一样。
但是在部分同步模型中,类似与异步模型推论一的结论就不存在了,因此推论一的假设基于节点无法判断一个消息是否丢失。而在部分同步模型中,存在部分同步算法可以在所有消息传送正常的情况下返回一致性的数据,而仅仅在消息丢失时返回非一致性数据。对于读或写请求,节点发送一个消息给另一个节点,如果消息返回了,那么节点发送请求的数据;如果消息在给定的2s+t时间内没有返回,那么该节点断定消息丢失了,节点就可能返回一个不一致的请求数据。

理论参考价值

在Google使用廉价的PC机搭建了强大的、高可靠的计算和存储平台之后,互联网公司一致性地选择使用PC集群支撑全部的业务,这个理论指明了实现满足可用性、分区容忍性的分布式系统是可行的,并且该分布式系统在没有故障的情况下可以提供良好的一致性读写。
参考

Lynch, Nancy, and Seth Gilbert. “Brewer’s conjecture and the feasibility of consistent, available, partition-tolerant web services.” ACM SIGACT News, v. 33 issue 2, 2002, p. 51-59.

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