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Oct 11, 2022

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在rmarkdown中编写数学公式

R的极客理想系列文章，涵盖了R的思想，使用，工具，创新等的一系列要点，以我个人的学习和体验去诠释R的强大。

R语言作为统计学一门语言，一直在小众领域闪耀着光芒。直到大数据的爆发，R语言变成了一门炙手可热的数据分析的利器。随着越来越多的工程背景的人的加入，R语言的社区在迅速扩大成长。现在已不仅仅是统计领域，教育，银行，电商，互联网….都在使用R语言。

要成为有理想的极客，我们不能停留在语法上，要掌握牢固的数学，概率，统计知识，同时还要有创新精神，把R语言发挥到各个领域。让我们一起动起来吧，开始R的极客理想。

关于作者：

张丹，分析师/程序员/Quant: R,Java,Nodejs
blog: http://blog.fens.me
email: bsspirit@gmail.com

转载请注明出处：
http://blog.fens.me/r-markdown-math-latex/

前言

我们编写专业的学术文档时，一定会有数学公式的部分。那么如何在rmarkdown的文档中，加入数学公式呢？这其实并不难，需要了解laTex语法结构，再多练练。然后使用时，知道去哪里查就行了。有点像使用正则表达式，随写随查。

在rmarkdown文档中加入数学公式
laTex 数学公式语法
用R来完成作业

1. 在rmarkdown文档中加入数学公式

我们在写专业的论文时，经常需要加入数学公式，我们在利用 rmarkdown 来写文档时，可以支持加入数学公式。rmarkdown是一个R语言支持的写文档的方便工具，RStudio工具已经有了集成支持，在用R编写markdown格式文档一文中，我详细地介绍的 rmarkdown 文档的写法。

在了解了 rmarkdown 文档的使用后，本文将介绍在文档中加入 laTex语法的数学公式，来进行数学公式的编辑。

在插入数学公式时，有2种语法，用 $ 和 $$ 的。

行内公式：将公式插入到本行内，符号：$公式内容$，如：$xyz$，
多行公式：将公式插入到新的一行内，并且居中，符号：$$公式内容$$。

2. laTex 数学公式语法

在我们使用公式时，需要了解laTex的数学公式的语法，正确使用公式语法，才能正确输出想要的公式结果，公式语法分为几大类分别进行介绍。

2.1 希腊字母表

名称	大写	code	小写	code
alpha	A	A	α	\alpha
beta	B	B	β	\beta
gamma	Γ	\Gamma	γ	\gamma
delta	Δ	\Delta	δ	\delta
epsilon	E	E	ϵ	\epsilon
zeta	Z	Z	ζ	\zeta
eta	H	H	η	\eta
theta	Θ	\Theta	θ	\theta
iota	I	I	ι	\iota
kappa	K	K	κ	\kappa
lambda	Λ	\Lambda	λ	\lambda
mu	M	M	μ	\mu
nu	N	N	ν	\nu
xi	Ξ	\Xi	ξ	\xi
omicron	O	O	ο	\omicron
pi	Π	\Pi	π	\pi
rho	P	P	ρ	\rho
sigma	Σ	\Sigma	σ	\sigma
tau	T	T	τ	\tau
upsilon	Υ	\Upsilon	υ	\upsilon
phi	Φ	\Phi	ϕ	\phi
chi	X	X	χ	\chi
psi	Ψ	\Psi	ψ	\psi
omega	Ω	\Omega	ω	\omega

2.2 四则运算

符号名	代码	实例
加号	+	a+b
减号	–	a-b
加减号	\pm	a \pm b
减加号	\mp	a \mp b
乘号	\times	a \times b
星乘	–	a-b
点乘	\cdot	a \cdot b
除号	\div	a \div b
斜除	/	a / b

2.3 括号

1、小括号与方括号
使用原始的( )、[ ]，如(2+3)*[4+4]。

2、大括号
由于大括号{}被用来分组，需要使用\{和\}表示大括号，或者可以使用\lbrace 和\rbrace来表示。如\{a*b\} 或 \lbrace a*b \rbrace

3、尖括号
使用\langle和\rangle表示左尖括号和右尖括号。如\langle x \rangle。

4、上取整和下取整
使用\lceil 和 \rceil 表示上取整，如\lceil x \rceil。使用\lfloor 和 \rfloor 表示下取整，如\lfloor x \rfloor

2.4 上标、下标、顶部

上标使用^，下标使用_，例如x_i^2

默认情况下，上下标符号仅仅对下一个组起作用。一个组即单个字符或者使用{..}包裹起来的内容，对比10^10不同于10^{10}。使用大括号可以消除二义性，如x^5^6是错误的语法，需要写成 {x^5}^6 或者 x^{5^6}。

2.5 求和，积分，连乘、交集并集、最大最小、自变量集

本分类的都可以使用类似语法加下限和上限，下限用_，上限用^，如\sum_{i=1}^n。

求和：使用 \sum，下限用_，上限用^，如\sum_{i=1}^n

积分：使用\int，下限用_，上限用^，如\int{i=1}^\infty

多重积分：使用\int, \iint, \iiint

连乘: 使用\prod，下限用_，上限用^，如\int{i=1}^n

交集和并集：使用\bigcpu和\bigcap

最大和最小：使用\max 和 \min

最大最小自变量集：使用\mathop {argmax}_{c_k} 和 \mathop {argmin}_{c_k}。

2.6 分式、连分式、根式

分式有2种语法：第一种是使用/frac，如/frac ab，其中a为分子，b为分母。第二种是使用\over，如 {a+b\over c+d}，其中\over之前为分子，之后为分母。

连分式：可以直接使用/frac的分式的写法，也可以用/cfrac语法，这种方法字体不缩小。

根式：使用\sqrt，默认为平方根，如\sqrt[4]{a+b}，[4]为几次方根，{a+b}为具体的值。

2.7 分类表达式、多行表达式、方程组、占位符

分类表达式：使用\begin{cases}…\end{cases} 的语法。

多行表达式：使用begin{equation}...end{equation}的语法；使用begin{split}表示开始多行公式，end{split}表示结束。

方程组：使用\begin{array}...\end{array}与\left \{与\right.配合表示方程组，也可以使用\begin{cases}…\end{cases}表示。

占位符：换行 \\，多位换行\\[3ex] 3ex可以改成5ex等，较大间隙空格\; ，普通空格\ ，更大间隙空格\quad 与 \qquad，对齐&。

2.8 三角函数，反三角函数

三角函数：正弦\sin，余弦\cos，正切\tan x，余切\cot x , 正割\sec x ，余割\csc x

反三角函数：反正弦\sin，反余弦\cos，反正切\tan x

2.9 运算符，排列组合，求模

比较运算符：小于\lt，大于 \gt ，小于等于 \le ，大于等于 \ge ，不等于\ne ，不\not ，不小于 \not\lt

集合运算符：求并集\cup，求交集 \cap，求差集\setminus，子集\subset，在子集 \subseteq ，不在子集 \subsetneq，父集\supset，属于\in，不属于\notin，空集 \emptyset，空\varnothing

对数运算符：使用\log ，\lg，\ln，如\log_2 10，其中2为底，b为值。

排列组合：使用\binom或者\choose

模运算：使用\pmod

2.10 特殊符号

特征符号，包括箭头，逻辑运算符，符号，多种等于，范围类型，点类型，顶部标记，连线符号。

2.11 表格

表格使用\begin{array}{列样式}…\end{array} 这样的形式来创建表格，列样式可以是clr 表示居中，左，右对齐，使用| 表示一条竖线。表格中各行使用\\ 分隔，各列使用& 分隔。使用\hline 在本行前加入一条直线。

2.12 矩阵

普通矩阵：使用\begin{matrix}…\end{matrix} 表示矩阵。

矩阵扩号：对矩阵加括号对应有不同的类型，小括号{pmatrix}，中括号{bmatrix}，大括号{Bmatrix}，竖线{vmatrix}，双竖线{Vmatrix}。

省略元素矩阵：使用省略号与普通矩阵进行组合 \cdots，\ddots，\vdots

增广矩阵：使用表格中使用到的\begin{array} ... \end{array} 来实现。

2.13 标记与引用

bbbb

2.14 字体

符号名	代码
黑板粗体字	\mathbb，\Bbb
黑体字	\mathbf，\bf
打印机字体	\mathtt，\tt
罗马字体	\mathrm，\rm
手写字体	\mathscr
Fraktur字母	\mathfrak
意大利体	\it
花体	\cal
等斜体	\sf
数字斜体	\mit

2.15 颜色

符号名	代码
黑色	\color{black}
灰色	\color{gray}
银色	\color{silver}
白色	\color{white}
栗色	\color{maroon}
红色	\color{red}
黄色	\color{yellow}
青柠色	\color{lime}
橄榄色	\color{olive}
绿色	\color{green}
绿色	\color{green}
鸭绿色	\color{teal}
青色	\color{aqua}
蓝色	\color{blue}
海军蓝	\color{navy}
紫色	\color{purple}
紫红色	\color{fuchsia}

3. 用R来完成作业

下面我找2道国外留学朋友遇到的作业题，来看一下，怎么用rmarkdown来完成作业的要求。

1. Show that the OLS estimator for β1 in the simple linear regression model can be written as.

代码

\hat\beta_1=\frac{\sum\left(X_i-\overline{X}\right)Y_i}{\sum\left(X_i-\overline{X}\right)^2}=\frac{\sum X_iY_i-\overline{X}\sum Y_i}{\sum X_i^2+\sum \overline{X}^2 - 2\overline{X}\sum X_i}\\
=\frac{\sum X_iY_i-\overline{X}*N\overline{Y}}{\sum X_i^2+N\overline{X}^2 - 2\overline{X}*N\overline{X}}
=\frac{\sum^{N}_{i=1} X_iY_i-N\overline{XY}}{\sum^{N}_{i=1}Xi^2-N\overline{X}^2}

2a.Find the OLS estimator for β1 in the linear regression model with no intercept term, i.e., in the regression Yi=β1Xi+Ei, i=1,2,...,N. Which algebraic properties of OLS estimatios discussed in the notes continue to hold and which are lost? Will the R^2 still necessarily lie between 0 and 1?

代码

SSR=\sum^{N}_{i=1}\hat E_i^2 =  \sum\left(Y_i-\hat\beta_1X_i\right)^2\\
FOC:\frac{\partial SSR}{\partial Xi} = -2 \sum\left(Y_i-\hat\beta_1X_i\right)\hat\beta_1= -2\hat\beta_1\sum\left(Y_i-\hat\beta_1X_i\right)=0\\
=>\sum^{N}_{i=1}\hat E_i=\sum\left(Y_i-\hat\beta_1X_i\right)=0\\
\frac{\partial SSR}{\partial \beta_1}=-2\sum\left(Y_i-\hat\beta_1X_i\right)X_i=0\\
=> \sum^{N}_{i=1}X_i\hat E_i=\sum X_i\left(Y_i-\hat\beta_1X_i\right)=0

2b. What is the OLS estimator for β0 in the linear regression model with no regressor, i.e., in the regression Yi=β0 + Ei? What is the R^2 for this regression? Remark :All of regressions will include the intercept term, unless explicitly stated otherwise.

代码

SSR=\sum^{N}_{i=1}E_i^2=\sum\left(Y_i-\beta_0\right)^2\\
\frac{\partial SSR}{\partial\hat\beta_0}|_{\hat\beta_0^{ols}} =-2\sum^{N}_{i=1}\left(Y_i-\beta_0\right)=-2N\overline{Y}+2N\beta_0=0 => \hat\beta_0=\overline{Y}\\
=>SST=\sum^{N}_{i=1}\left(Y_i-\overline{Y}\right)^2=\sum\left(\overline{Y}+\hat E_i-\overline{Y}\right)^2=\sum\hat E_i^2\\
=> R^2=1-\frac{SSR}{SST}=0

有了数学公式的编写神器，感觉完成作业简直太顺手了。只是用数学公式进行解题和推理，对我来说真是太难了。我还是喜欢写程序。哈哈哈！
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Apr 15, 2014

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formulas math Mathematical R 初等数学数学公式

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R语言中的数学计算

R的极客理想系列文章，涵盖了R的思想，使用，工具，创新等的一系列要点，以我个人的学习和体验去诠释R的强大。

关于作者：

张丹(Conan), 程序员Java,R,PHP,Javascript
weibo：@Conan_Z
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email: bsspirit@gmail.com

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$r-math$

前言

R是作为统计语言，生来就对数学有良好的支持，一个函数就能实现一种数学计算，所以用R语言做数学计算题特别方便。如果计算器中能嵌入R的计算函数，那么绝对是一种高科技产品。

本文总结了R语言用于初等数学中的各种计算。

基本计算
三角函数计算
复数计算
方程计算

1 基本计算

四则运算: 加减乘除, 余数, 整除, 绝对值, 判断正负


> a<-10;b<-5

# 加减乘除
> a+b;a-b;a*b;a/b
[1] 15
[1] 5
[1] 50
[1] 2

# 余数,整除
> a%%b;a%/%b
[1] 0
[1] 2

# 绝对值
> abs(-a)
[1] 10

# 判断正负
> sign(-2:3)
[1] -1 -1  0  1  1  1

数学计算: 幂, 自然常用e的幂, 平方根, 对数


> a<-10;b<-5;c<-4

# 幂
> c^b;c^-b;c^(b/10)
[1] 1024
[1] 0.0009765625
[1] 2

# 自然常数e
> exp(1)
[1] 2.718282

# 自然常数e的幂
> exp(3)
[1] 20.08554

# 平方根
> sqrt(c)
[1] 2

# 以2为底的对数
> log2(c)
[1] 2
# 以10为底的对数
> log10(b)
[1] 0.69897

# 自定义底的对数
> log(c,base = 2)
[1] 2
# 自然常数e的对数
> log(a,base=exp(1))
[1] 2.302585

# 指数对数操作
> log(a^b,base=a)
[1] 5
> log(exp(3))
[1] 3

比较计算: ==, >, <, !=, <=, >=, isTRUE, identical


> a<-10;b<-5

# 比较计算
> a==a;a!=b;a>b;a=c
[1] TRUE
[1] TRUE
[1] TRUE
[1] FALSE
[1] FALSE
[1] TRUE

# 判断是否为TRUE
> isTRUE(a)
[1] FALSE
> isTRUE(!a)
[1] FALSE

# 精确比较两个对象
> identical(1, as.integer(1))
[1] FALSE
> identical(NaN, -NaN)
[1] TRUE

> f <- function(x) x
> g <- compiler::cmpfun(f)
> identical(f, g)
[1] TRUE

逻辑计算： &, |, &&, ||, xor


> x<-c(0,1,0,1)
> y<-c(0,0,1,1)

# 只比较第一个元素 &&, ||
> x && y;x || y
[1] FALSE
[1] FALSE

# S4对象的逻辑运算，比较所有元素 &, |
> x & y;x | y
[1] FALSE FALSE FALSE  TRUE
[1] FALSE  TRUE  TRUE  TRUE

# 异或
> xor(x,y)
[1] FALSE  TRUE  TRUE FALSE
> xor(x,!y)
[1]  TRUE FALSE FALSE  TRUE

约数计算： ceiling,floor,trunc,round,signif


# 向上取整
> ceiling(5.4)
[1] 6

# 向下取整
> floor(5.8)
[1] 5

# 取整数
> trunc(3.9)
[1] 3

# 四舍五入
> round(5.8)

# 四舍五入,保留2位小数
> round(5.8833, 2)
[1] 5.88

# 四舍五入,保留前2位整数
> signif(5990000,2)
[1] 6e+06

数组计算：最大, 最小, 范围, 求和, 均值, 加权平均, 连乘, 差分, 秩，,中位数, 分位数, 任意数，全体数


> d<-seq(1,10,2);d
[1] 1 3 5 7 9

# 求最大值，最小值,范围range
> max(d);min(d);range(d)
[1] 9
[1] 1
[1] 1 9

# 求和,均值
> sum(d),mean(d)
[1] 25
[1] 5

# 加权平均
> weighted.mean(d,rep(1,5))
[1] 5
> weighted.mean(d,c(1,1,2,2,2))
[1] 5.75

# 连乘
> prod(1:5)
[1] 120

# 差分
> diff(d)
[1] 2 2 2 2

# 秩
> rank(d)
[1] 1 2 3 4 5

# 中位数
> median(d)
[1] 5

# 分位数
> quantile(d)
0%  25%  50%  75% 100%
1    3    5    7    9

# 任意any，全体all
> e<-seq(-3,3);e
[1] -3 -2 -1  0  1  2  3
> any(e<0);all(e<0)
[1] TRUE
[1] FALSE

排列组合计算: 阶乘, 组合, 排列


# 5!阶乘
> factorial(5)
[1] 120

# 组合, 从5个中选出2个
> choose(5, 2)
[1] 10

# 列出从5个中选出2个的组合所有项
> combn(5,2)
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,]    1    1    1    1    2    2    2    3    3     4
[2,]    2    3    4    5    3    4    5    4    5     5

# 计算0:10的组合个数
> for (n in 0:10) print(choose(n, k = 0:n))
[1] 1
[1] 1 1
[1] 1 2 1
[1] 1 3 3 1
[1] 1 4 6 4 1
[1]  1  5 10 10  5  1
[1]  1  6 15 20 15  6  1
[1]  1  7 21 35 35 21  7  1
[1]  1  8 28 56 70 56 28  8  1
[1]   1   9  36  84 126 126  84  36   9   1
[1]   1  10  45 120 210 252 210 120  45  10   1

# 排列，从5个中选出2个
> choose(5, 2)*factorial(2)
[1] 20

累积计算: 累加, 累乘, 最小累积, 最大累积


# 累加
> cumsum(1:5)
[1]  1  3  6 10 15

# 累乘
> cumprod(1:5)
[1]   1   2   6  24 120

> e<-seq(-3,3);e
[1] -3 -2 -1  0  1  2  3

# 最小累积cummin
> cummin(e)
[1] -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3
# 最大累积cummax
> cummax(e)
[1] -3 -2 -1  0  1  2  3

两个数组计算: 交集, 并集, 差集, 数组是否相等, 取唯一, 查匹配元素的索引, 找重复元素索引


# 定义两个数组向量
> x <- c(9:20, 1:5, 3:7, 0:8);x
 [1]  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20  1  2  3  4  5
[18]  3  4  5  6  7  0  1  2  3  4  5  6  7  8
> y<- 1:10;y
[1]  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10

# 交集
> intersect(x,y)
[1]  9 10  1  2  3  4  5  6  7  8

# 并集
> union(x,y)
 [1]  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20  1  2  3  4  5
[18]  6  7  0  8

# 差集，从x中排除y
> setdiff(x,y)
 [1] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20  0

# 判断是否相等
> setequal(x, y)
[1] FALSE

# 取唯一
> unique(c(x,y))
 [1]  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20  1  2  3  4  5
[18]  6  7  0  8

# 找到x在y中存在的元素的索引
> which(x %in% y)
 [1]  1  2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28
[18] 29 30 31
> which(is.element(x,y))
 [1]  1  2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28
[18] 29 30 31

# 找到重复元素的索引
> which(duplicated(x))
 [1] 18 19 20 24 25 26 27 28 29 30

2 三角函数计算

2.1 三角函数

在直角三角形中仅有锐角（大小在0到90度之间的角）三角函数的定义。给定一个锐角θ，可以做出一个直角三角形，使得其中的一个内角是θ。设这个三角形中，θ的对边、邻边和斜边长度分别是a、b和h。

三角函数的6种关系：正弦,余弦,正切,余切,正割,余割。

θ的正弦是对边与斜边的比值：sin θ = a/h
θ的余弦是邻边与斜边的比值：cos θ = b/h
θ的正切是对边与邻边的比值：tan θ = a/b
θ的余切是邻边与对边的比值：cot θ = b/a
θ的正割是斜边与邻边的比值：sec θ = h/b
θ的余割是斜边与对边的比值：csc θ = h/a

三角函数的特殊值：


函数    0     pi/12                  pi/6          pi/4           pi/3             5/(12*pi)              pi/2
sin     0     (sqrt(6)-sqrt(2))/4    1/2           sqrt(2)/2      sqrt(3)/2        (sqrt(6)+sqrt(2))/4    1
cos     1     (sqrt(6)+sqrt(2))/4    sqrt(3)/2     sqrt(2)/2      1/2              (sqrt(6)-sqrt(2))/4    0
tan     0     2-sqrt(3)              sqrt(3)/3     1              sqrt(3)          2+sqrt(3)              NA
cot     NA    2+sqrt(3)              sqrt(3)       1              sqrt(3)/3        2-sqrt(3)              0
sec     1     sqrt(6)-sqrt(2)        sqrt(3)*2/3   sqrt(2)        2                sqrt(6)-sqrt(2)        NA
csc     NA    2                      sqrt(2)       sqrt(3)*2/3    sqrt(6)-sqrt(2)  1                      NA

三角基本函数: 正弦,余弦,正切


# 正弦
> sin(0);sin(1);sin(pi/2)
[1] 0
[1] 0.841471
[1] 1

# 余弦
> cos(0);cos(1);cos(pi)
[1] 1
[1] 0.5403023
[1] -1

# 正切
> tan(0);tan(1);tan(pi)
[1] 0
[1] 1.557408
[1] -1.224647e-16

接下来，我们用ggplot2包来画出三角函数的图形。


# 加载ggplot2的库
> library(ggplot2)
> library(scales)

三角函数画图


# x坐标
> x<-seq(-2*pi,2*pi,by=0.01)

# y坐标
> s1<-data.frame(x,y=sin(x),type=rep('sin',length(x)))# 正弦
> s2<-data.frame(x,y=cos(x),type=rep('cos',length(x)))# 余弦
> s3<-data.frame(x,y=tan(x),type=rep('tan',length(x)))# 正切
> s4<-data.frame(x,y=1/tan(x),type=rep('cot',length(x)))# 余切
> s5<-data.frame(x,y=1/sin(x),type=rep('sec',length(x)))# 正割
> s6<-data.frame(x,y=1/cos(x),type=rep('csc',length(x)))# 余割
> df<-rbind(s1,s2,s3,s4,s5,s6)

# 用ggplot2画图
> g<-ggplot(df,aes(x,y))
> g<-g+geom_line(aes(colour=type,stat='identity'))
> g<-g+scale_y_continuous(limits=c(0, 2))
> g<-g+scale_x_continuous(breaks=seq(-2*pi,2*pi,by=pi),labels=c("-2*pi","-pi","0","pi","2*pi"))
> g

2.1 反三角函数

基本的反三角函数定义：


反三角函数	     定义	         值域
arcsin(x) = y  	 sin(y) = x  	 - pi/2 <= y <= pi/2
arccos(x) = y  	 cos(y) = x      0 <= y <= pi,
arctan(x) = y  	 tan(y) = x      - pi/2 < y < pi/2
arccsc(x) = y  	 csc(y) = x      - pi/2 <= y <= pi/2, y!=0
arcsec(x) = y  	 sec(y) = x      0 <= y <= pi, y!=pi/2
arccot(x) = y  	 cot(y) = x      0 <  y <  pi

反正弦,反余弦,反正切


# 反正弦asin
> asin(0);asin(1)
[1] 0
[1] 1.570796  # pi/2=1.570796

# 反余弦acos
> acos(0);acos(1)
[1] 1.570796 # pi/2=1.570796
[1] 0

# 反正切atan
> atan(0);atan(1)
[1] 0
[1] 0.7853982 # pi/4=0.7853982

反三角函数画图


# x坐标
> x<-seq(-1,1,by=0.005)

# y坐标
> s1<-data.frame(x,y=asin(x),type=rep('arcsin',length(x)))
> s2<-data.frame(x,y=acos(x),type=rep('arccos',length(x)))
> s3<-data.frame(x,y=atan(x),type=rep('arctan',length(x)))
> s4<-data.frame(x,y=1/atan(x),type=rep('arccot',length(x)))
> s5<-data.frame(x,y=1/asin(x),type=rep('arcsec',length(x)))
> s6<-data.frame(x,y=1/acos(x),type=rep('arccsc',length(x)))
> df<-rbind(s1,s2,s3,s4,s5,s6)

# 用ggplot2画图
> g<-ggplot(df,aes(x,y))
> g<-g+geom_line(aes(colour=type,stat='identity'))
> g<-g+scale_y_continuous(limits=c(-2*pi,2*pi),breaks=seq(-2*pi,2*pi,by=pi),labels=c("-2*pi","-pi","0","pi","2*pi"))
> g

2.3 三角函数公式

接下来，用单元测试的方式，来描述三角函数的数学公式。通过testthat包，进行单元测试，关于testthat包的安装和使用，请参考文章：在巨人的肩膀前行催化R包开发


# 加载testthat包
> library(testthat)

# 定义变量
> a<-5;b<-10

平方和公式:

sin(x)^2+cos(x)^2 = 1


expect_that(sin(a)^2+cos(a)^2,equals(1))

和角公式

sin(a+b) = sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)
sin(a-b) = sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a)
cos(a+b) = cos(a)*cos(b)-sin(b)*sin(a)
cos(a-b) = cos(a)*cos(b)+sin(b)*sin(a)
tan(a+b) = (tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b))
tan(a-b) = (tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b))


expect_that(sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a),equals(sin(a+b)))
expect_that(sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a),equals(sin(a-b)))
expect_that(cos(a)*cos(b)-sin(b)*sin(a),equals(cos(a+b)))
expect_that(cos(a)*cos(b)+sin(b)*sin(a),equals(cos(a-b)))
expect_that((tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b)),equals(tan(a+b)))
expect_that((tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b)),equals(tan(a-b)))

2倍角公式

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a)
cos(2*a) = cos(a)^2-sin(a)^2=2*cos(a)^2-1=1-2*sin2(a)


expect_that(cos(a)^2-sin(a)^2,equals(cos(2*a)))
expect_that(2*cos(a)^2-1,equals(cos(2*a)))
expect_that(1-2*sin(a)^2,equals(cos(2*a)))

3倍角公式

cos(3*a) = 4*cos(a)^3-3*cos(a)
sin(3*a) = -4*sin(a)^3+3*sin(a)


expect_that(4*cos(a)^3-3*cos(a),equals(cos(3*a)))
expect_that(-4*sin(a)^3+3*sin(a),equals(sin(3*a)))

半角公式

sin(a/2) = sqrt((1-cos(a))/2)
cos(a/2) = sqrt((1+cos(a))/2)
tan(a/2) = sqrt((1-cos(a))/(1+cos(a))) = sin(a)/(1+cos(a)) = (1-cos(a))/sin(a)


expect_that(sqrt((1-cos(a))/2),equals(abs(sin(a/2))))
expect_that(sqrt((1+cos(a))/2),equals(abs(cos(a/2))))
expect_that(sqrt((1-cos(a))/(1+cos(a))),equals(abs(tan(a/2))))
expect_that(abs(sin(a)/(1+cos(a))),equals(abs(tan(a/2))))
expect_that(abs((1-cos(a))/sin(a)),equals(abs(tan(a/2))))

和差化积

sin(a)*cos(b) = (sin(a+b)+sin(a-b))/2
cos(a)*sin(b) = (sin(a+b)-sin(a-b))/2
cos(a)*cos(b) = (cos(a+b)+cos(a-b))/2
sin(a)*sin(b) = (cos(a-b)-cos(a+b))/2


expect_that((sin(a+b)+sin(a-b))/2,equals(sin(a)*cos(b)))
expect_that((sin(a+b)-sin(a-b))/2,equals(cos(a)*sin(b)))
expect_that((cos(a+b)+cos(a-b))/2,equals(cos(a)*cos(b)))
expect_that((cos(a-b)-cos(a+b))/2,equals(sin(a)*sin(b)))

积化和差

sin(a)+sin(b) = 2*sin((a+b)/2)*cos((a+b)/2)
sin(a)-sin(b) = 2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)
cos(a)+cos(b) = 2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)
cos(a)-cos(b) = -2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)


expect_that(sin(a)+sin(b),equals(2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)))
expect_that(sin(a)-sin(b),equals(2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)))
expect_that(2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2),equals(cos(a)+cos(b)))
expect_that(-2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2),equals(cos(a)-cos(b)))

万能公式

sin(2*a)=2*tan(a)/(1+tan(a)^2)
cos(2*a)=(1-tan(a)^2)/(1+tan(a)^2)
tan(2*a)=2*tan(a)/(1-tan(a)^2)


expect_that(sin(2*a),equals(2*tan(a)/(1+tan(a)^2)))
expect_that((1-tan(a)^2)/(1+tan(a)^2),equals(cos(2*a)))
expect_that(2*tan(a)/(1-tan(a)^2),equals(tan(2*a)))

平方差公式

sin(a+b)*sin(a-b)=sin(a)^2+sin(b)^2
cos(a+b)*cos(a-b)=cos(a)^2+sin(b)^2


expect_that(sin(a)^2-sin(b)^2,equals(sin(a+b)*sin(a-b)))
expect_that(cos(a)^2-sin(b)^2,equals(cos(a+b)*cos(a-b)))

降次升角公式

cos(a)^2=(1+cos(2*a))/2
sin(a)^2=(1-cos(2*a))/2


expect_that((1+cos(2*a))/2,equals(cos(a)^2))
expect_that((1-cos(2*a))/2,equals(sin(a)^2))

辅助角公式

a*sin(a)+b*cos(a) = sqrt(a^2+b^2)*sin(a+atan(b/a))


expect_that(sqrt(a^2+b^2)*sin(a+atan(b/a)),equals(a*sin(a)+b*cos(a)))

3 复数计算

复数，为实数的延伸，它使任一多项式都有根。复数中的虚数单位i，是-1的一个平方根，即i^2 = -1。任一复数都可表达为x + yi，其中x及y皆为实数，分别称为复数之“实部”和“虚部”。

3.1 创建一个复数


# 直接创建复数
> ai<-5+2i;ai
[1] 5+2i
> class(ai)
[1] "complex"

# 通过complex()函数创建复数
> bi<-complex(real=5,imaginary=2);bi
[1] 5+2i
> is.complex(bi)
[1] TRUE

# 实数部分
> Re(ai)
[1] 5

# 虚数部分
> Im(ai)
[1] 2

# 取模
> Mod(ai)
[1] 5.385165 # sqrt(5^2+2^2) = 5.385165

# 取辐角
> Arg(ai)
[1] 0.3805064

# 取轭
> Conj(ai)
[1] 5-2i

3.2 复数四则运算

加法公式：(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
减法公式：(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i
乘法公式：(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^2+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i
除法公式：(a+bi)/(c+di) = ((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c^2+d^2)


# 定义系数
a<-5;b<-2;c<-3;d<-4

# 创建两个复数
ai<-complex(real=a,imaginary=b)
bi<-complex(real=c,imaginary=d)

expect_that(complex(real=(a+c),imaginary=(b+d)),equals(ai+bi))
expect_that(complex(real=(a-c),imaginary=(b-d)),equals(ai-bi))
expect_that(complex(real=(a*c-b*d),imaginary=(a*d+b*c)),equals(ai*bi))
expect_that(complex(real=(a*c+b*d),imaginary=(b*c-a*d))/(c^2+d^2),equals(ai/bi))

3.3 复数开平方根


# 在实数域，给-9开平方根
> sqrt(-9)
[1] NaN

# 在复数域，给-9开平方根
> sqrt(complex(real=-9))
[1] 0+3i

4 方程计算

方程计算是数学计算的一种基本形式，R语言也可以很方便地帮助我们解方程，下面将介绍一元多次的方程，和二元一次方程的解法。

解一元多次方程，可以用uniroot()函数！

4.1 一元一次方程

一元一次方程：a*x+b=0，设a=5，b=10，求x？


# 定义方程函数
> f1 <- function (x, a, b) a*x+b

# 给a,b常数赋值
> a<-5;b<-10

# 在(-10,10)的区间，精确度为0.0001位，计算方程的根
> result <- uniroot(f1,c(-10,10),a=a,b=b,tol=0.0001)

# 打印方程的根x
> result$root
[1] -2

一元一次方程非常容易解得，方程的根是-2！

以图形展示方程：y = 5*x + 10


# 创建数据点
> x<-seq(-5,5,by=0.01)
> y<-f1(x,a,b)
> df<-data.frame(x,y)

# 用ggplot2来画图
> g<-ggplot(df,aes(x,y))
> g<-g+geom_line(col='red') #红色直线
> g<-g+geom_point(aes(result$root,0),col="red",size=3) #点
> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0) #坐标轴
> g<-g+ggtitle(paste("y =",a,"* x +",b))
> g

4.2 一元二次方程

一元二次方程：a*x^2+b*x+c=0，设a=1，b=5，c=6，求x？


> f2 <- function (x, a, b, c) a*x^2+b*x+c
> a<-1;b<-5;c<-6
> result <- uniroot(f2,c(0,-2),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)
> result$root
[1] -2

把参数带入方程，用uniroot()函数，我们就解出了方程的一个根，改变计算的区间，我们就可以得到另一个根。


> result <- uniroot(f2,c(-4,-3),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)
> result$root
[1] -3

方程的两个根，一个是-2，一个是-3。

由于uniroot()函数，每次只能计算一个根，而且要求输入的区间端值，必须是正负号相反的。如果我们直接输入一个(-10,0)这个区间，那么uniroot()函数会出现错误。


> result <- uniroot(f2,c(-10,0),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)
Error in uniroot(f2, c(-10, 0), a = a, b = b, c = c, tol = 1e-04) : 
  位于极点边的f()值之正负号不相反

这应该是uniroot()为了统计计算对一元多次方程而设计的，所以为了使用uniroot()函数，我们需要取不同的区别来获得方程的根。

以图形展示方程：y = x^2 + 5*x + 6


# 创建数据点
> x<-seq(-5,1,by=0.01)
> y<-f2(x,a,b,c)
> df<-data.frame(x,y)

# 用ggplot2来画图
> g<-ggplot(df,aes(x,y))
> g<-g+geom_line(col='red') #红色曲线
> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0) #坐标轴
> g<-g+ggtitle(paste("y =",a,"* x ^ 2 +",b,"* x +",c))
> g

我们从图，并直接的看到了x的两个根取值范围。

4.3 一元三次方程

一元二次方程：a*x^3+b*x^2+c*x+d=0，设a=1，b=5，c=6，d=-11，求x？


> f3 <- function (x, a, b, c,d) a*x^3+b*x^2+c*x+d
> a<-1;b<-5;c<-6;d<--11
> result <- uniroot(f3,c(-5,5),a=a,b=b,c=c,d=d,tol=0.0001)
> result$root
[1] 0.9461458

如果我们设置对了取值区间，那么一下就得到了方程的根。

以图形展示方程：y = x^2 + 5*x + 6


# 创建数据点
> x<-seq(-5,5,by=0.01)
> y<-f3(x,a,b,c,d)
> df<-data.frame(x,y)

# 用ggplot2画图
> g<-ggplot(df,aes(x,y))
> g<-g+geom_line(col='red') # 3次曲线
> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0) #坐标轴
> g<-g+ggtitle(paste("y =",a,"* x ^ 3 +",b,"* x ^2 +",c,"* x + ",d))
> g

4.4 二元一次方程组

R语言还可以解二次的方程组，当然计算方法，其实是利用于矩阵计算。

假设方程组：是以x1,x2两个变量组成的方程组，求x1,x2的值

以矩阵形式，构建方程组


# 左矩阵
> lf<-matrix(c(3,5,1,2),nrow=2,byrow=TRUE)

# 右矩阵
> rf<-matrix(c(4,1),nrow=2)

# 计算结果
> result<-solve(lf,rf)
> result
     [,1]
[1,]    3
[2,]   -1

得方程组的解，x1, x2分别为3和-1。

接下来，我们画出这两个线性方程的图。设y=X2, x=X1，把原方程组变成两个函数形式。


# 定义2个函数
> fy1<-function(x) (-3*x+4)/5
> fy2<-function(x) (-1*x+1)/2

# 定义数据
> x<-seq(-1,4,by=0.01)
> y1<-fy1(x)
> y2<-fy2(x)
> dy1<-data.frame(x,y=y1,type=paste("y=(-3*x+4)/5"))
> dy2<-data.frame(x,y=y2,type=paste("y=(-1*x+1)/2"))
> df <- rbind(dy1,dy2)

# 用ggplot2画图
> g<-ggplot(df,aes(x,y))
> g<-g+geom_line(aes(colour=type,stat='identity')) #2条直线
> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0) #坐标轴
> g

我们看到两条直线交点的坐标，就是方程组的两个根。多元一次方程，同样可以用这种方法来解得。

通过R语言，我们实现了对于初等数学的各种计算，真的是非常方便！下一篇文章将介绍，用R语言来解决高级数学中的计算问题。

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http://blog.fens.me/r-mathematics/

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