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Jul 25, 2019
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用R语言解读统计检验-T检验

R的极客理想系列文章，涵盖了R的思想，使用，工具，创新等的一系列要点，以我个人的学习和体验去诠释R的强大。

R语言作为统计学一门语言，一直在小众领域闪耀着光芒。直到大数据的爆发，R语言变成了一门炙手可热的数据分析的利器。随着越来越多的工程背景的人的加入，R语言的社区在迅速扩大成长。现在已不仅仅是统计领域，教育，银行，电商，互联网….都在使用R语言。

要成为有理想的极客，我们不能停留在语法上，要掌握牢固的数学，概率，统计知识，同时还要有创新精神，把R语言发挥到各个领域。让我们一起动起来吧，开始R的极客理想。

关于作者：

  • 张丹(Conan), 程序员/Quant: Java,R,Nodejs
  • blog: http://blog.fens.me
  • email: bsspirit@gmail.com

转载请注明出处：
http://blog.fens.me/r-test-t

前言

做统计分析R语言是最好的，R语言对于统计检验有非常好的支持。我会分7篇文章，分别介绍用R语言进行统计量和统计检验的计算过程，包括T检验，F检验，卡方检验，P值，KS检验，AIC，BIC等常用的统计检验方法和统计量。

本文先从T检验开始说起！

目录

  1. T检验介绍
  2. 数据集
  3. 单总体T检验
  4. 双总体T检验

1. T检验介绍

T检验，也称 student t检验（Student’s t test），是戈斯特为了观测酿酒质量发明的。戈斯特于1908年在Biometrika上公布T检验，但因其老板认为其为商业机密而被迫使用笔名（学生）。

T检验，是用于检验两个小样本的平均值差异程度的检验方法，样本量在3-30个左右，要求样本为正态分布，但总体标准差可未知。T检验，是用T分布理论来推断差异发生的概率，从而判定两个样本平均值的差异是否显著。T检验可分为单总体T检验，双总体非配对T检验，和双总体配对T检验。下面将分别进行介绍。

2. 数据集

T检验，对于数据有比较严格的要求，所以我们需要先找到一个合适的数据集，作为测试数据集。我发现了R语言自带的一个数据集sleep，是很好的测试数据集，本文接下来的内容，将以这个数据集进行测试，来介绍T检验。

开发环境所使用的系统环境

  • Win10 64bit
  • R: 3.4.2 x86_64-w64-mingw32/x64 b4bit

数据集，记录了10名患者使用两种催眠药物影响的对比数据，共3列，20条记录。

  • extra列，为睡眠时间的变化
  • group列，为药物编号
  • ID列，为患者编号

查看数据集。


> data(sleep)
> sleep
   extra group ID
1    0.7     1  1
2   -1.6     1  2
3   -0.2     1  3
4   -1.2     1  4
5   -0.1     1  5
6    3.4     1  6
7    3.7     1  7
8    0.8     1  8
9    0.0     1  9
10   2.0     1 10
11   1.9     2  1
12   0.8     2  2
13   1.1     2  3
14   0.1     2  4
15  -0.1     2  5
16   4.4     2  6
17   5.5     2  7
18   1.6     2  8
19   4.6     2  9
20   3.4     2 10

由于T检验的前提条件，总体要符合正态分布，只是总体方差未知。所以，我们需要先对选定数据集进行进行正态分布检验。使用Shapiro-Wilk和qq图，作为正态分布检验的方法。

Shapiro-Wilk正态分布检验: 用来检验是否数据符合正态分布，类似于线性回归的方法一样，是检验其于回归曲线的残差。该方法推荐在样本量很小的时候使用，样本在3到5000之间。该检验原假设为H0:数据集符合正态分布，统计量为W。统计量W最大值是1，越接近1，表示样本与正态分布匹配。p值，当p-value小于显著性水平α(0.05)，则拒绝H0。


> shapiro.test(sleep$extra) # 总体正态分布

	Shapiro-Wilk normality test

data:  sleep$extra
W = 0.94607, p-value = 0.3114

检验结果，W接近1，p-value>0.05，不能拒绝原假设，所以数据集sleep是符合正态分布的。

接下来，我们再画出qq图，直观的看一下数据符合正态分布的情况。

图中，对角线基本能穿过数据点，也说明数据符合正态分布。

3. 单总体的T检验

目的：单总体T检验，是检验一个样本平均值与一个已知的总体平均值的差异是否显著。当总体分布是正态分布，如总体标准差未知且样本容量较小，那么样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t分布。

适用条件：

  1. 已知总体均值Um
  2. 可得到样本均值Xm，及该样本标准误差Xs
  3. 样本来自正态或近似正态总体

计算公式：T统计量

公式解释：

  • Xm：样本均值
  • Um：总体均值
  • Xs：样本标准差
  • n：样本个数
  • 自由度：df=n-1

用R语言进行T检验，取sleep数据集做为总体，符合正态分布，总体平均值为1.54，以group=1为样本组，共10条记录，样本均值为0.75，样本标准差为1.78901。判断group=1分组的药物，是否有显著性改进睡眠？


#  总体均值
> Um<-mean(sleep$extra) 

# 取group=1的样本组
> g1<-sleep$extra[which(sleep$group==1)]

# 计算样本均值，方差，数量
> Xm<-mean(g1)
> Xs<-sd(g1)
> n<-length(g1)

# 进行T检验
> t.test(g1,mu=Um)

	One Sample t-test

data:  g1
t = -1.3964, df = 9, p-value = 0.1961
alternative hypothesis: true mean is not equal to 1.54
95 percent confidence interval:
 -0.5297804  2.0297804
sample estimates:
mean of x 
     0.75

指标解释：

  • H0:原假设总体和样本均值无显著差异
  • t统计量：-1.3964
  • df，自由度，10-1=9
  • p-value值：0.1961
  • 95 percent confidence interval：95%的置信区间
  • mean：样本均值0.75

结果解读，以0.05为显著性水平，t=-1.3964小于临界值2.228(查表)，t值不显著，不能拒绝原假设。以0.05为显著性水平，p-value=0.19大于0.05，不能拒绝原假设，group=1的药物对睡眠没有明显改进。

我们可以用t值进行显著性差异判断，也可以用p值进行显著性差异判断，他们的作用是一样的。t值判断时，需要用计算所得的t值，与显著性水平查表对比。p值相当于是把t值，进行一种标准化的变型，只和已经定义好的显著性水平比就行了，比如0.05, 0.01, 0.001等几个固定值。

手动计算T值和P值，关于P值的详细解释，请查看文章R语言实现统计检验-P值


# 手动计算T值
> t_stat<-(Xm-Um) / (Xs/(sqrt(n)));t_stat 
[1] -1.396415

# 手动计算P值
> p_value<-2*pt(-abs(t_stat),df=n-1);p_value    
[1] 0.1960699

4. 双总体T检验

双总体T检验，是检验两个样本平均值，与其各自所代表的总体的差异是否显著。双总体T检验又分为两种情况，一种是配对的样本T检验，用于检验两种同质对象，在不同条件下所产生的数据差异性；另一种是独立样本非配对T检验，用于检验两组独立的样本的平均数差异性。

4.1 配对T检验

目标：检验两组同质样本，在不同的处理下的样本平均值，是否有显著的差异性。

配对设计：将2组样本的某些重要特征按相近的原则配成对子，消除混杂因素的影响，观察样本之间的处理因素和研究因素的差异，其它因素基本相同，把配对两组样本个体随机处理。

配对过程如下3种情况：

  • 两种同质样本，分别接受两种不同的处理，如性别、年龄、体重、病情程度相同进行配对。
  • 同一样本或同一样本的两个部分，分别接受两种不同的处理。
  • 同一样本自身对比，把同一组样本处理前后的结果进行比较。

计算公式：

公式解释：

  • D：两个样本差值
  • εD：求和
  • ε(D^2)：平方和
  • n：样本个数
  • 自由度：df=n-1

使用sleep数据集，按group分成2个组，形成配对的数据集。H0原假设，g1和g2两个样本组均值没有显著性差异，对治疗睡眠的效果是一致的。


# 配对T检验
> t.test(extra ~ group, data = sleep, paired = TRUE)

	Paired t-test

data:  extra by group
t = -4.0621, df = 9, p-value = 0.002833
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -2.4598858 -0.7001142
sample estimates:
mean of the differences 
                  -1.58

结果解读，以0.05为显著性水平，p-value=0.002833<0.05，说明g1和g2有显著性的差异，可以拒绝原假设。

接下来，我们动手自己算一下T值


# 生成数据集
> g1<-sleep$extra[which(sleep$group==1)]
> g2<-sleep$extra[which(sleep$group==2)]

# 配对T检验，与上面的计算结果是一致的
> t.test(g1,g2,paired=TRUE)

	Paired t-test

data:  g1 and g2
t = -4.0621, df = 9, p-value = 0.002833
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -2.4598858 -0.7001142
sample estimates:
mean of the differences 
                  -1.58 

# 动手计算
> n1<-length(g1)
> n2<-length(g2)
> D<-g1-g2
> Ds<-sum(D)

# 计算T值
> Ds/sqrt((n1*sum(D^2)-sum(D)^2)/(n1-1))
[1] -4.062128

4.2 非配对T检验

目标：用于检验两组独立的样本的平均数差异性。

计算公式：

  • n1 和n2 为两样本容量
  • Xm1和Xm2为两样本均值
  • Xs1和Xs2为两样本的标准差

继续使用sleep数据集，按group分成2个组，形成独立的样本，病人按随机进行配对，去掉关联关系。H0原假设，随机选取g1和g2两个样本组均值没有显著性差异，对治疗睡眠的效果是一致的。


> t.test(extra ~ group, data = sleep)

	Welch Two Sample t-test

data:  extra by group
t = -1.8608, df = 17.776, p-value = 0.07939
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -3.3654832  0.2054832
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2 
           0.75            2.33

结果解读，以0.05为显著性水平，p-value=0.07939>0.05，说明g1和g2有没显著性的差异，不能拒绝原假设，两种方法对于治疗效果是一致的。

接下来，我们动手自己算一下T值。


# 计算数量，均值，标准差
> n1<-length(g1)
> n2<-length(g2)
> Xm1<-mean(g1)
> Xm2<-mean(g2)
> Xs1<-sd(g1)
> Xs2<-sd(g2)
 
# 计算T值
> (Xm1-Xm2)/sqrt((Xs1^2/n1)+(Xs2^2/n2))
[1] -1.860813

画出箱线图，观察两组数据的均值。


> boxplot(extra~group,data=sleep)


图中，每个箱的最粗的黑色线，表示两个样本的均值。

以双总体进行T检验，当是样本是配对时，g1和g2有显著性差异；而当样本是独立时，g1和g2没有显著性差异。由于我们变化了初始的假设，是会很大的程度影响统计结果的，所以在使用统计学模型时，要做非常严格的条件判断，从而保证结果的可靠性，可解释性。

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